∞は実数か？

数Ⅲの教科書より登場する∞という概念。

この用語を使う文脈にもよりますが

「無限に大きい数」、言い換えれば

∞という数は数直線上の正の方向の遥か彼方にあるという認識を持っているのが普通かもしれません。

数直線上にあるということはその数は少なくとも実数であるということです。

しかし、∞は本当に実数でしょうか？


実数全体の集合を"R"と表すことがあります。

他にも有理数の集合は"Q"、整数は"Z"、自然数は"N"などと慣習的に表記します。

自然数の集合Nの要素は1,2,100,5282,5兆,1無量大数などいくらでもあげられるでしょう。

他の集合も言わずもがなです。

当たり前すぎるかもしれませんが自分でそれぞれの集合について適当な要素をあげてみると、

例えそれがどんな大きな数であってもある定まった数、有限な数であることに気づきませんか？

そうなのです。これらの集合のうちどんな要素をあげたとしても

必ずそれより大きい要素がその集合の中に見つからないといけないのです。


"∞"は定義からしてどんな実数よりも大きい"数"といえるかもしれませんが

それはつまり、「∞より大きい実数は存在しない」とも言い換えられませんか？


ですので ∞ ∉ R としたほうがいいようです。


例えば、2以上の区間を表すときに [2,∞) と表記しますね。

[2,∞] ではダメなのかと疑問に思ったことはありませんか？

これは"∞"という要素が実数の集合の中に含まれないからです。

∞の側を閉じてしまうとそれも実数の数直線（実直線）上に存在するということになってしまいます。


"∞"とは「どんな実数よりも大きくなりうる数」や「実直線の外側にある数」との認識を持ったほうが

正確かもしれませんね。

2012/03/28 (Wed) 数学 Comment(2)