実数の穴を埋める"超実数"

この前の「∞は実数か？」の記事で

∞をどんな実数よりも大きくなりうる数、実直線の外側にある数と捉え、

厳密にいって∞は実数ではないとしました。

しかし、実数ではないなら一体何なのでしょう？

数Ⅲの内容で実数ではない∞を普通に使っちゃってますが本当にいいのでしょうか？


ここで、実数について考えなおしてみます。

実数は確かに実直線の上に乗っている数として一次元的に捉えることができますが

実数一つ一つはあくまで点、つまりゼロ次元的です。

直線の上に点が乗っかっているわけですが、直線は直線、点は点であって

いくら点が集まったところでそれは点の集まりに過ぎないわけです。


そこで実直線の穴を埋めるために定義された数があります。

超実数という数です。

この超実数という数には

無限小超実数、無限大超実数、有限超実数の三種類があります。

無限小超実数とは、

任意の正の実数 r に対し |x| < r が成り立つ x のことです。

無限大超実数とは、

任意の正の実数 r に対し |x| > r が成り立つ x のことです。

有限超実数とは、

ある正の実数 r に対し |x| < r が成り立つ x のことです。


こうしてみると、超実数の無限小、無限大（∞）は動的な点をイメージして定義されているのが分かるでしょうか？

まず、実数の元（要素）の中から、適当なものを一つ用意します。

例えばそれが1だったとすると無限大超実数は1より大きい方へと逃げていきます。

それが1億だったとするとさらにその先へと逃げていくのです。

こうして、正の方向の遥か彼方へと移動していくような動的な数、

それが超実数によって定義される無限大（∞）です。

（余談ですがこの動的な考え方は「ε-δ論法」と通じるものがあります。詳しくはググってください。）

∞は超実数の元であり、超実数全体の集合を表す R* によって ∞ ∈ R* と表されます。


無限小も同様に動的に定義されます。

このように超実数の無限大、無限小は動的なだけに、

同じ無限大、無限小にも大小関係が存在するそうです。

例えば ∞ と ∞の2倍 では ∞の2倍 の方が移動速度が2倍速いみたいな。

その辺は詳しくは分からないのでこれ以上言及するのは避けます。


一方、有限超実数とは実数と実数の穴を埋める数であり、

任意の有限超実数はただ1つのある実数に無限に近いという驚くべき性質を持ちます。

超実数 x に無限に近い超実数全体の集合を monad(x) と表し、

その元にはただ一つの実数が含まれています。


数学において新しい概念を定義するときは既存の公理系（組み立ててきた論理みたいな？）と

矛盾が生じないように定義しなければいけませんが、

超実数は矛盾なしに定義されているらしいのだから驚きですね。


しかし、実数の穴を埋める有限超実数といっても所詮は有限の点であり、

ゼロ次元的であるのには変わりないので実直線を完全に直線にするには至ってませんが＾＾；


知らず知らずのうちに私たちは学校の授業で超実数を使っていたのですね。

今回はここまで。では！

2012/04/15 (Sun) 数学 Comment(0)