i^i

今日放課後の数研の活動で

任意の複素数の極形式表示 z=|z|e^iθ から

i^i=e^(-π/2) という結論を出しましたが

よく考えたら極形式って極座標と同じで偏角が2π回転したら一周して同じ値になるじゃん…


つまりもう少し極形式を一般的に書くと z=|z|e^i(θ+2nπ) ・・・☆ となるわけです。
（ただしnは任意の整数）

しかし普通の複素数ならばオイラーの公式より cosθ+isinθ っていう三角関数の和の形に直せるから

2nπがあろうとなかろうと結局同じ値になるのですが

i^i=e^(-π/2) という具体的な指数で表された実数値が出てきてる以上は

2nπのあるなしで大きな違いが出てきます。

もう一度☆を使ってi^iを考えなおしてみると

i=|i|e^i(π/2+2nπ)

よって

i^i=e^(-π/2-2nπ)

nは任意の整数のため2nπの符号を変えても一般性を失わないので

i^i=e^(-π/2+2nπ)

こうなりますね。

そう考えるとi^iに対応する実数は一つじゃないどころか無限個存在することになるわけです！

もし間違ってたら指摘をお願いしたい。


やけに丁寧に書いてみましたが

S井先生みたいに逆に分かりづらくなってないかな…？


こんな記事を書くのも楽しいものですね。

読んでる人は楽しくないかもしれないけど。。

2012/03/02 (Fri) 数学 Comment(2)