アステロイドのおもちゃ！

旭苑の部紹介の放送部のスペースを見てみると去年までなかった部員紹介が書いているので拝見。

新３年生の欄を見てみるとS原君が「初の朗アナ系男子」と紹介されてました。
（※朗アナ・・・朗読・アナウンスのこと。放送部には朗アナと機材の２つの活動がある。）

朗アナ"系"ってなんなんだろう？S原君朗アナやってたっけ？

ってかそれ以前に僕、一年のとき朗アナやってたから僕が「初の朗アナ系男子」なはずなんだけど…

存在を忘れられたのか、なかったことにされたのか…。


まあ、それはおいといてクラスの食事会も終業式も終了し、放課後にマジアカやったりCD買ったりで

楽しく終わった２学年でした。のんびりと春休みを過ごしています。


…また話が変わりますが本当にのんびりしてると無為に過ごしてしまいそうなので

数学の話でもしますか。


この前クラスの頭脳、Mッキー君が悩んでいた問題が気にかかってて考えていました。

その問題は、

「長さ１の線分があり、その両端はそれぞれx軸、y軸上にある。

この線分が動く領域の境界線はアステロイドであることを示せ。」

という問題なのですがこの線分上の点をある文字で置くと四次式が出てきたり、

両端のx座標、y座標の二乗の和は１だから三角関数でおけるだろ！

と思っても上手いこと問題の答えに導くような式変形ができなかったりで解けませんでした。


諦めてネットで検索したらいい解法が見つかったので、

自分の言葉に直してまとめてみました。












…なんとなく分かるような分からないような証明ですね…。

tは0から1までの値を動くものだったのにdy/dxを求めることで具体的な値が出てきてしまってるし
（追記：cos^2θは0から1までを動くので問題無いです。
でも x=tcosθ y=(1-t)sinθ は領域を示す式だったのになぜアステロイドという曲線の式に？）

直線ABは常に境界線の接線となることはだいたい予想がつくのですが

そうではないときにこの解法は使えるのかと…。


いろいろ悩んでいたのですが包絡線というものを考えると上手く理解できると分かりました。

まあ、めんどくさいのでそれについての説明は割愛。

気になる場合は自分で調べておいて下さい。

ちなみに y=(-b/a)x+b を a=cosθ  b=sinθ と置いた式 y=(-tanθ)x+sinθ

のθの値をいろいろに変化させてグラフを書くとこうなります。












確かにアステロイドの形が残像として浮かび上がってきますね。


そんなこんなで今回も結構時間のかかった記事でした。

何か指摘や意見があれば。では。

2012/03/21 (Wed) 数学 Comment(0)

判別式とは

みなさん判別式というと二次方程式の判別式D=b^2-4acをまず思い浮かべると思います。

でもこれを解の公式から導き出すことを学校で教えられ、なんとなく使っている人も多いでしょう。

今回は判別式についてお話しします。

ではまず説明に使う用語と記号について紹介します。

めんどうな場合は読み飛ばして（続き）に飛んで下さい。

一つ目は「根」について








「解」によく似てますね。でも解とは少し違います。

「解」とはあくまでf(x)=0を満たすxの値のことです。

同じものが２つあればそれをまとめて一つとして考えます。

例えば、(x-1)^2=0の「解」は一つですが「根」は２つと考えます。

でも今回は、同じものだとして「解」と読みかえてもらっても構いません。


２つ目に総乗記号についてです。総乗記号Πは次のように定義されます。








要するにΣ（シグマ）の掛け算バージョンと思えばすぐ理解できるでしょう。

 

[つづきはこちら]

2012/03/14 (Wed) 数学 Comment(2)

双曲線関数を使った、積分の実験的解法

昨日、双曲線関数の性質を利用してなんとか積分に応用できないかと

3～4時間考えていたのですが

なんだか特殊な解法を思いついたのでその成果をここに記します。

例にあげる問はこの前の授業で出てきた、

y=x^2においてxが0から1までの曲線の長さの問題です。

数式エディタの使い方まで覚えて作ったので心して読んでもらいたいです。












どうでしょうか？

こんな簡単な答えにならなかったような気がするので

なんか間違っている気がしますが。

αの求め方とか個人的にうまくできたと思うのですけど。


これ作るのにめちゃめちゃ時間かかりました…。

他にもいろいろ書いておきたい成果はあるのですが

それを書くには余白が狭すぎる時間がかかりすぎるので

こんなもんにしておきます。


なにか指摘や意見があればお願いします。

2012/03/12 (Mon) 数学 Comment(3)

文集

なかなか個性豊かなクラス文集が出来上がりましたね。

みんなレイアウトとか凝ってて目を惹きます。

僕なんか就活サイトにあったエントリーシートのテンプレートを引っ張ってきたもので

かなり味気ない感じになりましたがｗ


○○な人のところに名前は載りませんでしたが、次ページの実はわたしコーナーに載っちゃったよｗ

家でどうなってるかはご想像にお任せしますｗ


ところで、思ったのは充実してそうな人ほど自己紹介が簡潔だということ。。

別に紹介するまでもなく知られてるからかな。。


普段内気な人ほどこういうところで素の自分を出す人も多いと思うので
（寂しがり屋で実は構って欲しかったり。あ、自分のことかな…）

読んでて面白い文集に仕上がったのではないでしょうか。


まだHR対抗という行事があるので残された時間はクラス一丸となって頑張ろう！

2012/03/05 (Mon) 未選択 Comment(2)

i^i

今日放課後の数研の活動で

任意の複素数の極形式表示 z=|z|e^iθ から

i^i=e^(-π/2) という結論を出しましたが

よく考えたら極形式って極座標と同じで偏角が2π回転したら一周して同じ値になるじゃん…


つまりもう少し極形式を一般的に書くと z=|z|e^i(θ+2nπ) ・・・☆ となるわけです。
（ただしnは任意の整数）

しかし普通の複素数ならばオイラーの公式より cosθ+isinθ っていう三角関数の和の形に直せるから

2nπがあろうとなかろうと結局同じ値になるのですが

i^i=e^(-π/2) という具体的な指数で表された実数値が出てきてる以上は

2nπのあるなしで大きな違いが出てきます。

もう一度☆を使ってi^iを考えなおしてみると

i=|i|e^i(π/2+2nπ)

よって

i^i=e^(-π/2-2nπ)

nは任意の整数のため2nπの符号を変えても一般性を失わないので

i^i=e^(-π/2+2nπ)

こうなりますね。

そう考えるとi^iに対応する実数は一つじゃないどころか無限個存在することになるわけです！

もし間違ってたら指摘をお願いしたい。


やけに丁寧に書いてみましたが

S井先生みたいに逆に分かりづらくなってないかな…？


こんな記事を書くのも楽しいものですね。

読んでる人は楽しくないかもしれないけど。。

2012/03/02 (Fri) 数学 Comment(2)